今天我们讲函数求值域
求函数值域不算一个大知识点，通常会是一个小题目。
选择题或填空题，一题5分。
或是一个大题的第一问，差不多5分。
这5分相对来说好拿。
下面我们做个题型总结，多看几遍，这5分你就拿到手了。
01
分离常数法
这是最简单的一种方法——适用于自变量是一次的分式函数。
我们看到这样的分式函数，就通过配方，把它变成一个常数+一个分式的样子。
它的值域就显而易见了——≠常数。
02
配方法
如果你遇到的是一个二次函数，可以用配方的方法。
这个方法在初中就已经非常常见了。
把未知数配成完全平方的形式。
完全平方≥0，那么值域就显而易见了。
配完全平方要注意：
常数项是一次项系数的 1/2 。
前面加上了一个常数，后面就要减去。
03
换元法
换元法又分代数换元和三角换元。
它们的使用场景都是含有根式的函数。
代数换元是普通根式函数；
三角换元是比较“巧”的根式函数。
代数换元的例子。
代数换元是把根式里的“一堆”设为t，
然后两边平方，转换成二次函数，
再配方求值域。
三角换元法例子。
三角换元法适合根式下是【平方差】的函数。
根式下是平方差，我们就可以利用正弦余弦平方相加为0。
然后令自变量＝三角函数，来进行变换。
最后利用三角函数值来确定函数值域。
04
判别式法
这个方法也很巧妙。
适合分式函数，且分母次数为2次的分式函数。
遇到这种情况，我们可以把分式转化为一个二次方程。
在这个方程里，用y做系数，x依旧是自变量。
那么，方程要有根，判别式必须≥0。
这样y的值，也就是值域也就计算出来了。
注意，要讨论二次项系数，系数≠0。
其实这也叫反函数法——用y表示x嘛。
假如再遇到分式函数，不想配方也行。
我们可以用y表示x。
然后再判断值域。
05
基本不等式法
基本不等式你还记得吗？
a+b≥2√ab
如果一个函数是y＝x+1/x-4
那么对于前半部分你就可以用基本不等式。
x+1/x≥2
当x=1/x，也就是x＝±1时，成立。
函数的值域也可以求了。
如果一个函数不是x+1/x的形式，你就给它化简成这样的形式。
比如下图中的这些。
06
导数法
求函数的导数，让导数等于0。
此时的自变量取值，对应的就是函数的极值。
这个方法我以前讲过。拓展阅读链接在下方。
两种函数求极值的方法：一种是理想，一种是现实
07
比例法
适合结合一次函数的复合函数。
先把x和y写在等号两边。
然后让等号两边等比例，设为k。
用k表示x、y，代入复合函数来判定值域。
08
利用函数基本性质
函数有单调性、奇偶性、有界性等性质。
只要你熟知各个函数的特征，有时候单是观察复合函数，就能知道值域。
很多人管这个方法叫观察法，根本上还是根据函数的特点。
还有图形结合，也是根据函数本身。
只要把函数图像画出来，那么函数的值域也就一目了然了。
我们还可以利用函数的有界性。
比如，三角函数，二次函数，指数函数等。
它们的值域都在一定范围内。
一个复合函数包含这些初等函数，利用有界性判断一下就行了。
比如下面这些：
利用函数的单调性，也是一个非常好的方法。
调函数的图像是一直上升或下降的。
单调函数在端点处有意义，则该函数在单点处取最值。
比如：
一个函数在[2,8]上单调递增，则在2上取最小值，在8上取最大值。
一个函数在[2,8]上单调递减，则在2上取最大值，在8上取最小值。
好了，基本上都总结完了。
具体的你再到题目中去试试。
不练肯定不行。
本文结束，谢谢阅读。