为了彻底解决,指数与对数函数相关比值问题和单调性问题,我们这里统一做一个模型出来
并论证结论.
(a>0 且a不等于1 )
(a>0且a不等于1)
一:对数函数,指数函数与y=1,y=0的直线位置关系.
结论1: 若a>1,x>0的时候,指数函数永远在y=1的上方,即指数函数大于y=1恒成立
若a<1,x>0的时候, 指数函数永远在y=1的下方,即指数函数小于y=1恒成立
结论2: 若a>1, x>1, 对数函数永远在x=0的上方,即对数函数大于y=0恒成立
若a<1,x>1,对数函数永远在x=0的下方,即对数函数小于y=0恒成立.
结论1和结论2的证明:其实就是用各自的区间单调性即可证明,这里略.
结论1和结论2就是对单调性的几何一意义进行解释.
二: 对数函数/指数函数分别在(0,1),(1,0)切线的图形位置关系:
先给出结论: (1) >=Ina.x+1 (x=0,等号成立)
几何意义: 图像永远在切线y=Ina.x+1的上方,交点在(0,1)位置
(2):<=0 (x=1取等号 a>1),
几何意义: a>1, 对数图像永远在(1,0)切线的下方,交点在(1,0)位置
>=0 (x=1取等号,a<1)
几何意义: a<1, 对数图像永远在(1,0)切线的下方,交点在(1,0)位置
1.对数函数在(0,1)点切线与自身的位置关系证明过程:
这个是对数函数的导数公式,在P(0,1)位置,代入导数公式,得到切线斜率
k=Ina, 于是我们得到切线方程: y-1=kx 即: y=Ina.x+1, 现在我们来讨论 f(x)=与切线方程的位置关系.
(1) f(x)=>Ina.x+1 (恒成立问题) ,即f(x)上所有点要在切线y=Ina.x+1之上;
(2)f(x)=<Ina.x+1 (恒成立问题),即f(x)上所有点在切线y=Ina.x+1的下方;
求证过程:
构造一个新函数: g(x)==-Ina.x-1 ,要求(1),即需求g(x)>0,x恒成立的条件.即
-Ina.x-1>0,求x的取值范围.
因此,为了研究g(x)单调性,我们需要对g(x)进一步的求导:
得到g(x)'=Ina.-Ina=Ina(-1) ,由于Ina 无法知道正负性,所以还需要对a进行讨论:
a | Ina | -1 | g(x)' |
a>1 | >0 | x>0时 -1>0 | >0 |
a>1 | >0 | x<0时 -1>0 | <0 |
a<1 | <0 | x>0时 -1<0 | >0 |
a<1 | <0 | x<0时 -1>0 | <0 |
通过上表分析:我们知道了g(x)'的正负性就能判断g(x)的单调性了:
条件1: 当g(x)'>0的时候, g(x)单调递增; 即 a>1 x>0 或a<1 , x>0
条件2:当g(x)'<0的时候,g(x)单调递减; 即a>1,x<0 或 a<1,x<0
因为:g(0)=0,整理得到 ()
1: a>1,x>0 g(x) 增函数 g(x)>g(0) ; a<1, x>0 g(x)增函数 g(x)>g(0)
2.a>1,x<0 , g(x)减函数 g(x)>g(0) ; a<1,x<0, g(x)减函数,g(x)>g(0);
合并如下得到
- 若 a>1,x>0或x<0 g(x)>g(0)=0, 恒大于0,即 f(x)>Ina.x+1 恒成立,f(x)要恒大于在点(1,0)切线方程上与之对应的任何一点. f(x)在切线方程Inax+1 上方.
- 若a<1 ,x>0,或 a<1,x<0,g(x)>g(0)=0,即 f(x)>Ina.x+1 恒成立,f(x)要恒大于在点(1,0)切线方程上与之对应的任何一点.也就是说f(x)在该切线方程y=Ina+1上方.
最后得到: >=Ina.x+1 (x=0,等号成立)
2.对数函数在(1,0)切线方程图像关系:
我们设:f(x)=,f(x)'=1/x *1/In(a) , 在(1,0)切线方程代入得到:
y=1/Ina(x-1)
现在要判定 f(x)=,y=1/In(a)*(x-1)的位置关系
设g(x)=f(x)-y=-1/Ina* (x-1) ,则转化成我们要研究的函数
g(x)=-1/Ina*(x-1) 的单调性,这里g(1)=0
g(x)'=1/x *1/In(a)-1/Ina=-=(1/x-1),接下来讨论g(x)'的正负性,来判断g(x)单调性:
a>0且a不等于1 | 1/Ina | 1/x-1 x>0 | g(x)' | g(x) |
a>1 | >0 | x<1 时 >0 | >0 | 增函数 |
a>1 | >0 | x>1时 <0 | <0 | 减函数 |
a<1 | <0 | x<1时 >0 | <0 | 减函数 |
a<1 | <0 | x>1时 x<0 | x>0 | 增函数 |
整理得到:
1.a>1, x<1时, g(x)增函数,g(x)<g(1) ; a<1, x>1,时,g(x)增.g(x)>g(1);
2.a>1,x>1时,g(x)减函数,g(x)<g(1); a<1,x<1时,g(x)减, g(x)>g(1)
因为g(1)=0
合并总结得到:
指数函数对于切点(1,0)的切线方程图像关系的结论
(1)a>1,x<1 或x>1时(x>0), g(x)=<g(1)=0,即g(x)<=0 恒成立,
即<=0 (x=1取等号,任意x),
几何意义: a>1时, 指数函数的图像要恒小于等于在(1,0)切线方程的图像.
(2)a<1,x<1 或 x>1时 (x>0),g(x)>=g(1),即g(x)>=0恒成立,
即>=0(x=1时取等号,任意x):
几何意义: a<1,时指数函数的图像要恒大于在(1,0)切线方程的图像.
三: 应用举例: 比大小:
2.4/In0.8