前面说了在一致连续的条件下，求和与求积，求和与求导，求和与取极限都可以交换。现在来证明这些结论。
这个定理表明两个极限的运算可以交换位置。
现在讨论函数项级数，由一致收敛函数列的性质直接写出下面三个定理。
这个定理表明在一致收敛的条件下求和与求极限运算可以交换顺序。
这个定理表明在一致收敛的条件下求和与求积分运算可以交换顺序。
这个定理表明在一致收敛的条件下求和与求导运算可以交换顺序。要注意一致收敛是求积或求导运算与求和运算可交换的充分条件但不是必要条件。关于圆周率的级数最早就是用逐项积分的这种方法得到的，由印度数学家玛德瓦在十五世纪发现，找到反正切函数arctan(x)的函数项级数，而这个级数是怎么来的呢？arctan(x)是一个超越函数，但它的导函数则是一个有理函数1/(1+x^2)。
这种情况是很常见的，在前面的文章《阿贝尔一生中最重要的工作——椭圆函数理论是什么理论》里椭圆积分的导函数也是一个有理函数，对于有理函数1/(1+x^2)，展开成级数还是比较容易的，牛顿所引以为豪的牛顿二项式（广义二项式定理）就可以完成这个工作，在前面《牛顿二项式：牛顿刻在墓碑上的公式》里说道过牛顿二项式，1/(1+x^2)可以展开成无穷级数1-x^2+x^4-x^6+...，在(-1,1)上一致收敛，于是可以逐项积分，就可以得到arctan(x)在(-1,1)上的无穷级数。可以证明这个无穷级数在[1,1]上一致收敛，于是令x=1就可以得到著名的关于圆周率的无穷级数。